刘莉老师推荐的案例研究文本呈现模板《植树问题》（一）
“植树问题”的再思考和实践
“植树问题”是一个经典的问题，课改后，人教版教材将它以教学广角的形式安排在四年级下册。在实践中，众多教师对“植树问题”感到难教（或说例题好教，习题难做），多数学生感觉难学，这引起了我们的关注。
一、调查分析
1、样本选择。
我们对已经学过这个内容的五、六年级的学生进行了“测查问卷”和“访谈”。为尽可能地减少误差，选择了由不同教师执教的两个六年级和两个五年级，共138名学生作为调查样本。
2、问卷题目。
由于教学参考书明确提出“不要对例题进行过多的变式、提高问题的难度”，所以问卷调查题基本来自教材的例题和习题。题目如下：
（1）在操场边，有一条长20米的小路，学校计划在小路的一边种树，如果每融5米种一棵树，需几棵树？
（2）你还记得“植树问题”是怎么学会（或老师是怎么教）的吗？
（3）你对“植树问题”印象最深的是什么？
（4）同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽），共需要多少颗树苗？
（5）奇奇到家要走64级台阶，每上一层楼要走16级台阶，奇奇家住在几楼？
（6）一根木头长32米，要把它锯成每4米一段，每锯一段需要8分钟。锯完一共要花几分钟？
（7）广场上的大钟5时敲5下，8钞钟敲完，12时敲响12下，需要多长时间？
其目的是想通过这些题目搞清楚学生学习植树问题后，到底留下了什么。如第1－3题是开放题，它有多种答案，是想了解学生最容易回忆起的是哪种类型，能主动回忆起三种类型的学生有多少，等等。
3、数据分析和学生访谈。
标准情境与异情境前测对比表
班级
植树问题
锯木头问题
上楼梯问题
钟声问题
正确
人数
正确率
正确
人数
正确率
正确
人数
正确率
正确
人数
正确率
五2
39
75％
40
76.92％
12
23.07％
4
7.7％
五5
38
71.69％
37
69.81％
11
20.75％
1
1.9％
六1
23
42.59％
36
66.76％
14
25.92％
0
0
六2
38
79.16％
38
79.16％
21
43.75％
2
4.16％
总计
138
66.66％
151
72.94％
58
28.01％
7
3.38％
（为了研究的方便，我们提出了标准情境和异情境两个概念：与教材例题1情境相同的称之为标准情境，与例1情境不同，数学结构相同的问题情境称之为异情境。
（1）题目4的分析。
从数据上看，它正确率达到了66.66％，这样的数据说明学生对解决这一类问题，似乎没有什么问题，但事实真是如此吗？是不是因为有了正确的结果，就可以认为学生真的理解了？带着这些问题，笔者对学生进行了访谈。
访谈片段一
师：为什么要“＋1”？
生：因为写着两端都要种，所以要“＋1”。
师：100÷5=20（个），20表示间隔数，为什么“20＋1＝21（棵）变成棵数？
76.61％的学生无法理解清楚这是为什么，而是反复强调一句“它是两端都种的，因此要‘＋1’”。说明多数学生是直接套用了“两端都种，要‘＋1’”这个知识点，对棵数与间隔数之间的关系并不清晰。这个观点在另外的两个问题的统计中得到进一步佐证，如下图：
你还记得“植树问题”是怎么学会（或你还记得老师是怎么教）的吗？
老师说：如果两头都种，那就总路程÷树与树之间的距离＋1，有一头种，一头不种就总路程÷树与树之间的距离，两头都不种就总路程÷树与树之间的距离－1。
你对“植树问题”印象最深的是什么？
在算有两头都和都不种的时候，容易把它们弄反。
（2）题目5的分析。
为何同模型的楼梯问题和钟声问题的正确率一落千丈？楼梯问题是28.01％，而钟声问题只有3.38％？
访谈片段二
师指着算式64÷16＝4（楼），问：“你是怎么想的？”
生：以前就不太会，现在考就这样子了。
师：这个样子是什么意思？
生：做这种题目是先除的。不过刚刚搞明白了， 一楼也是一楼，但它不用走楼梯，就应该＋1。
师：刚刚搞明白是什么意思呢？
生：刚从同学那里知道要问这个问题，就和他从一楼到四楼走了一趟，又商量了一下。
师：题目4和题目5有联系吗？
生：（愣了好一会。）哦！如果把题目5看成种树的话，就像64米的路，每隔16米种一棵了。
这是一个成绩属于中下的学生，从他的话可以看出，一开始，他并不会用植树问题的方法去分析同模型的楼层问题，然而只要引导他去经历这种过程，他还是能把两种不同情境的植树问题进行有效连接的。
（3）题目6的分析。
锯木头问题的正确率为何有72.94％？在访谈中发现，64.15％的学生都提到“老师说过最后一段不用再锯了”，有的还用“一刀两断”来解释。这说明，当生活经验刚好与解题思路重叠时，再加锯木头的特定情境及解决方法又容易记住，才有这么高的正确率。
4、 结果分析。
从测查和访谈的情况看，绝大多数学生解决植树问题的思维过程大致可分为三步：看到植树问题情境，首先想到用除法：路的总长÷间距＝棵数；其次接着看，题中是否有“两端都种”的明确提示语，有，就“＋1”，没有，就凭自我感觉决定“＋1”“－1”或“不加也不减”。
从以上分析可知：解决植树问题，多数学生并不会数学分析，而是靠死性的记忆、机械模仿和已有经验的推广。
二、教材解读、教师访谈和收集资料的对比研究
以上情况会不会是由于个别教师的教学方法引起的？我们对教材、执教教师（包括校外）、收集的五十余份相关资料进行对比分析，发现了三者一些共同之处。
1、特别重视“植树问题”的三种不同类型的区分。三者都认为“两端都种”“只种一端”与“两端都不种”三种类型是植树问题的基本教学模型。
2、把三种类型的获得归结为“规律的发现”，把教学的注意力集中到结果的获取上。在教学中，很多教师都用列表的形式，让学生比较容易地发现棵数与间隔之间的关系，如下图：
总长
间隔
（米）
两端都种
只种一端
两端不种
间隔数
棵数
间隔数
棵数
间隔数
棵数
20米
5
1
2
4
10
20
我们不否认“棵数与间隔数”这种结果的重要性，但可能是这种过度强调结果获取，导致了分析能力的缺失，使学生失去了最具有生命力的知识。
3、突出强调“化归思想”。由于教学参考书中比较明确地提出，让学生经历“化繁为简”这么一个过程，多数教师把“化归思想”的渗透，当做植树问题教学的重中之重。
执教老师也基本按教学参考书这么教的，为何还会出现这么多问题？教学参考书的定位是否真的合理？